значит "они думают, что говорят - на одном языке" - это не про нас. :)
для меня действительно очень чувствительная разница.
во фразе "верю" есть еще помимо всего прочего некое личное отношение, выражение доверия что-ли. в "знаю" отношение вполне может быть беспристрастным.